紧集 定义 紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合： 任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集） 具备Bolzano-Weierstrass性质 完备且完全有界 性质 紧集具有以下性质： 点集是紧集的充分必要条件是它为有界闭集。 紧集在连续函数下的像仍是紧集。 豪斯多夫空间的紧子集是闭集。 实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素。 Heine-Borel定理:在Rn内，一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界。 定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。 定义在紧集上的连续实值函数一致连续。 直观理解 从某种意义上，紧集类似于有限集。举最简单的例子而言，在度量空间中，所有的有限集都有最大与最小元素。一般而言，无限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0, 1)）,但R中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下，对有限集成立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续。 类似概念 自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列。 可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖。 伪紧：所有的实值连续函数都是有界的。 弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点。 在度量空间中，以上概念均等价于紧集。 以下概念通常弱于紧集： 相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的，则称Y是相对紧致于X。 准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列，则称Y是X中的准紧集。 局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基，则称这个空间是局部紧致空间。 请帮助解答： 1.拓扑空间的紧子集的闭包可以不是紧的，谁可以给出个例子 R上的 Alexandroff拓扑的紧子集的闭包都为R，显然R不是紧的， 注：正则空间的紧子集的闭包必为紧的！ 2.{Xn}收敛到x0,且都属于X，如何证明{x0}与{Xn,n取正整数}之并是紧集 证：因为{Xn}收敛到X0,所以有对任意ξ>0,都存在N，对任意n>N时有|Xn-X0|<ξ成立。也就是说当n大于某一存在常数N而趋向无穷大时，都有Xn∈O(X0,ξ)成立，而ξ是任意大于零，则X0的任意领域都含有无穷多{Xn}中的点，所以X0是{X0}∪{Xn}的聚点，而其余的点Xn(n=1,2,3…)都是孤立点，此外因数列收敛的唯一性，且其任意子列都收敛于X0，故该并集中含有有且唯一的一个聚点X0，故并集为闭集。 又因为收敛数列的有界性，故此为有界闭集，为紧集！
定义 紧集是拓扑空间内的一类特殊点集,它们的任何开覆盖都有有限子覆盖.在度量空间内,紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集） 具备Bolzano-Weierstrass性质 完备且完全有界 性质 紧集具有以下性质：紧集必然是有界的闭集,但反之不一定成立.紧集在连续函数下的像仍是紧集.豪斯多夫空间的紧子集是闭集.实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素.Heine-Borel定理:在Rn内,一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界.定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值.定义在紧集上的连续实值函数一致连续.直观理解 从某种意义上,紧集类似于有限集.举最简单的例子而言,在度量空间中,所有的有限集都有最大与最小元素.一般而言,无限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0,1)）,但R中的非空紧子集都有最大和最小元素.在很多情况下,对有限集成立的证明可以扩展到紧集.一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续.类似概念 自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列.可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖.伪紧：所有的实值连续函数都是有界的.弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点.在度量空间中,以上概念均等价于紧集.以下概念通常弱于紧集：相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的,则称Y是相对紧致于X.准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列,则称Y是X中的准紧集.局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基,则称这个空间是局部紧致空间.
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